¿Cómo resolver problemas?

Una de las más importantes carencias que he encontrando en muchos de mis alumnos es que no saben cómo resolver los problemas. En mi opinión esta habilidad debería adquirirse antes de llegar a la universidad, pero lamentablemente no es así en demasiados casos.

Tras leer el enunciado, aquellos que lo leen entero, se lanzan a escribir vertiginosamente todas aquellas ecuaciones que creen que están relacionadas con el tema y a intentar despejar de ellas algún valor. Este proceso, al que llamo "vomitar fórmulas", rara vez tiene éxito. El alumno no se mete dentro del problema, lo que usualmente llamamos la física del problema. No comprende cuál es su situación inicial y cuál el objetivo.

Para abordar un problema de los que se suelen plantear en las carreras técnicas, es necesario seguir un proceso ordenado, que debe componerse de las siguientes fases:

1. Análisis del enunciado.
2. Planteamiento.
3. Resolución numérica.
4. Análisis crítico de resultados.

La extensión y el trabajo que el alumno debe desarrollar en cada una de las fases depende del tipo de problema que se esté tratando, pero en términos generales el contenido de cada una de ellas debe ser el siguiente:

Análisis del enunciado

Tras leer con tranquilidad el enunciado completo del problema el alumno debe separar los datos, variables numéricas conocidas al comienzo del problema, de las incógnitas, variables demandadas por el enunciado y desconocidas inicialmente. A las incógnitas demandadas por el enunciado las llamaremos incógnitas principales.

Un elemento muy importante es la elección de los nombres matemáticos que se le pondrán a cada uno de los datos y de las incógnitas. Debemos de tener en cuenta a la hora de nombrar los siguientes aspectos:

• Usar las letras asociadas a cada tipo de magnitud de acuerdo a lo que se estudio en la asignatura, por ejemplo para la temperatura, T. A todos los profesores nos encanta que se use la misma nomenclatura que utilizamos en las clases teóricas.
• Si el enunciado utiliza alguna nomenclatura debe de usarse la misma. Por ejemplo si el enunciado habla de una superficie 1 su temperatura será T₁.
• Ser coherente en el uso de letras y subíndices, esto es, usar siempre que sea posible los mismos.

Debemos decidir el sistema de unidades que vamos a usar en todo el problema y escribir el valor de todos los datos en el sistema de unidades elegido.

Es muy conveniente durante el análisis del enunciado realizar algún dibujo o esquema que nos ayude a aclarar en qué consiste el problema. Evidentemente el posible esquema dependerá mucho de la materia, pero intentar dibujar o esquematizar es el tiempo mejor invertido en la resolución del problema.

También suelo recomendar reservar un espacio al principio de cada problema, para ir anotando las propiedades físicas de las sustancias que aparezcan a lo largo del problema y que el alumno tendrá que ir obteniendo de la documentación que pueda manejar, por ejemplo colecciones de tablas y gráficas.

Planteamiento

Plantear el problema consiste en obtener tantas ecuaciones como incógnitas tenga el problema.

Cada vez que se utilicé una ecuación es necesario describir cual es el principio físico o ley que la soporta (balance de masas, balance de energía, etc.) y comprobar que las hipótesis necesarias para plantear dicha ecuación se cumplen. Para algunas ecuaciones también se debe indicar a que región del espacio (volumen de control) o del tiempo se aplica dicha ecuación.

Es muy habitual que al plantear nuevas ecuaciones aparezcan nuevas incógnitas que no son las directamente demandadas por el enunciado, dichas incógnitas, que llamaremos incógnitas auxiliares, deberíamos añadirlas a la lista de incógnitas que elaboramos al comienzo del problema.

En mi opinión en esta fase del problema debe trabajarse siempre con los nombres de la variables, sin sustituir numéricamente las mismas.

Resolución numérica

• Si el sistema de ecuaciones es lineal o se puede reducir a una única ecuación cuadrática, resolverlo.
• Si el sistema de ecuaciones es no lineal puede resolverse usando una calculadora, un programa de ordenador o planteando una estrategia de resolución iterativa.

En el caso de que el valor de alguna variable proceda de un diagrama, gráfica o tabla a la que tengamos que acceder usando una de las incógnitas del problema y no tengamos su expresión matemática, el proceso de resolución será obligatoriamente iterativo.

Análisis crítico de resultados

Tras obtener los valores de las incógnitas, debemos remarcar las incógnitas principales, expresándolas en el sistema de unidades más adecuado para poder realizar un análisis crítico de las mismas. El análisis crítico consiste en comprobar que los valores obtenidos están dentro del rango esperado y compararlos con cualquier cota lógica que pueda obtenerse de los mismos.

Este procedimiento para resolver problemas ha sido uno de los puntos de partida para el diseño de la aplicación pSolver, de forma que no sólo sea una herramienta para resolver problemas, sino que fuerce al alumno, en lo posible, a seguir el procedimiento sugerido en este artículo.